aX^2+bX+c=0有一个正根和一个负根的充要条件

aX^2+bX+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0

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证明：
充分性：
若ac<0，分两种情况
a>0，c<0
则f(x)=ax²+bx+c的图象开口向上，且当x=0时，f(0)=c<0，所以图象与x轴的交点在x=0的两侧，即方程ax²+bx+c=0有一正一负两个根
a<0，c>0
则f(x)=ax²+bx+c的图象开口向下，且当x=0时，f(0)=c>0，所以图象与x轴的交点在x=0的两侧，即方程ax²+bx+c=0有一正一负两个根
必要性：
若方程ax²+bx+c=0有一正一负两个根，则函数f(x)=ax²+bx+c的图象与x轴的交点分布在x=0的两侧
若a>0，抛物线开口向上，则必有f(0)=c<0，所以ac<0
或a<0，抛物线开口向下，则必有f(0)=c>0，所以ac<0
综合可得，aX^2+bX+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0

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mx²+（2m+3）x+1-m=0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？

根据上面的结论可知，其充要条件是m(1-m)<0
解得m<0或m>1
即mx²+（2m+3）x+1-m=0有一个正根和一个负根的充要条件是（m<0或m>1）

方程有两个实数根，即b^2-4ac>=0
两根的乘积为负，即c/a<0
ac<0

a!=0
b^2-4ac>0
c/a<0